confidence bounds script added

rm(list=ls())

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# Konfidenzintervalle: Frequentistische Interpretation

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set.seed(123)

mu_true <- 0         # wahrer, fester Parameter (nicht zufällig!)

sigma  <- 1          # bekannte Standardabweichung (für sauberes Z-Intervall)

n      <- 25         # Stichprobengröße

M      <- 2000       # Anzahl Wiederholungen (Stichproben)

alpha  <- 0.05

z      <- qnorm(1 - alpha/2)

# 1) Viele Stichproben ziehen und CI bauen

Xbar <- numeric(M)

lower <- numeric(M)

upper <- numeric(M)

covered <- logical(M)

for (m in 1:M) {

  XX <- rnorm(n, mean = mu_true, sd = sigma)

  Xbar[m]  <- mean(XX)

  halfwidth <- z * sigma / sqrt(n)

  lower[m] <- Xbar[m] - halfwidth

  upper[m] <- Xbar[m] + halfwidth

  covered[m] <- (lower[m] <= mu_true) && (mu_true <= upper[m])

}

# 2) Empirische Überdeckungswahrscheinlichkeit

cat("Empirische Überdeckung (sollte ~ 0.95 sein): ",

    mean(covered), "\n")

# 3) Plot: viele Intervalle, rot wenn verfehlt, schwarz wenn getroffen

K <- 100  # wie viele Intervalle im Plot gezeigt werden

idx <- sample(1:M, K)

par(mar = c(5, 4, 6, 2) + 0.1)  # bottom, left, top, right

plot(NULL, xlim = range(c(lower[idx], upper[idx])), ylim = c(1, K),

     xlab = expression(mu), ylab = "Intervall-Index",

     main = "95%-Konfidenzintervalle: Viele Stichproben, fixer Parameter")

abline(v = mu_true, lwd = 2, lty = 2)  # wahrer Parameter (fix)

for (i in 1:K) {

  j <- idx[i]

  col <- if (covered[j]) "black" else "red"

  segments(lower[j], i, upper[j], i, col = col, lwd = 2)

}

legend("top",

       inset = c(0, -0.07),

       legend = c("enthält mu (Treffer)", "enthält mu nicht (Fehler)", "wahrer mu"),

       col = c("black", "red", "black"),

       lty = c(1, 1, 2),

       lwd = c(2, 2, 2),

       bty = "n",

       horiz = TRUE,

       xpd = NA)

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# 4) EIN beobachtetes Konfidenzintervall – und was wir sinnvoll

#    darüber sagen können (frequentistische Sicht)

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# Eine konkrete (einmalige) Stichprobe

x_obs <- rnorm(n, mean = mu_true, sd = sigma)

xbar_obs <- mean(x_obs)

halfwidth_obs <- z * sigma / sqrt(n)

ci_obs <- c(xbar_obs - halfwidth_obs, xbar_obs + halfwidth_obs)

cat("\nEin konkret beobachtetes 95%-Konfidenzintervall:\n")

cat("[", round(ci_obs[1], 3), ", ", round(ci_obs[2], 3), "]\n", sep = "")

# Wichtige Klarstellung:

cat("\nWICHTIG:\n")

cat("Der wahre Parameter mu ist unbekannt.\n")

cat("Wir wissen NICHT, ob dieses konkrete Intervall mu enthält.\n")

cat("Die Zahl 95% ist KEINE Wahrscheinlichkeit für dieses Intervall.\n")

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# 4a) Was bedeutet die 95%-Aussage dann?

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cat("\nInterpretation der 95%:\n")

cat("Das verwendete Intervall-Verfahren hat eine Überdeckungswahrscheinlichkeit von 95%.\n")

cat("Das heißt:\n")

cat("- Würden wir dieses Experiment sehr oft wiederholen,\n")

cat("- dann würden ca. 95% der resultierenden Intervalle den wahren Parameter enthalten.\n")

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# 4b) Gedankliches Experiment: Wiederholung des Verfahrens

#      (mu bleibt fix, Stichprobe variiert)

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M_long <- 10000

covered_long <- logical(M_long)

for (m in 1:M_long) {

  x <- rnorm(n, mean = mu_true, sd = sigma)

  xbar <- mean(x)

  ci <- c(xbar - z * sigma / sqrt(n),

          xbar + z * sigma / sqrt(n))

  covered_long[m] <- (ci[1] <= mu_true) && (mu_true <= ci[2])

}

cat("\nLangfristige Überdeckungsrate des Verfahrens:\n")

cat("Anteil Intervalle mit mu enthalten = ",

    round(mean(covered_long), 3), "\n", sep = "")

cat("\nKernaussage:\n")

cat("Ein 95%-Konfidenzintervall ist eine Aussage über die ZUVERLÄSSIGKEIT\n")

cat("des Verfahrens, nicht über die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Intervalls.\n")